La evolución del cálculo matricial

El cálculo de estructuras es un proceso que a lo largo de la historia ha ido evolucionando de forma pareja al desarrollo del conocimiento matemático y estático.

Desde los inicios del método de prueba-error en las primeras construcciones en piedra y madera, pasando por el uso del arco en las obras romanas que ya evidenciaban un discernimiento de las bondades resistentes de algunos elementos constructivos, hasta las esbeltas columnas de las catedrales góticas, se han construido a lo largo de la historia importantes obras diseñadas únicamente de acuerdo a la experiencia y a unas someras nociones físicas.

Con la llegada en el siglo XVII de la matemática y física moderna a partir de Newton, Euler y otros grandes pensadores como Robert Hooke, que establecieron los principios del equilibrio de las fuerzas y el comportamiento elástico de los materiales, se empezaron a realizar los primeros análisis resistentes de las estructuras, permitiendo a los proyectistas estimar con cierta veracidad la capacidad de sus obras antes de construirlas.

Este avance originó (sinérgicamente con otras invenciones como la máquina de vapor) el inicio de la revolución industrial, donde el desarrollo de los materiales de construcción junto con el conocimiento de sus propiedades mecánicas, permitieron el uso de nuevos métodos de cálculo  basados en el reparto de esfuerzos en función de las rigideces de los elementos de la estructura. Los primeros métodos eran iterativos, ya que al introducir mayor números de elementos en el modelo, aumentan las variables, lo que dificulta la resolución de las ecuaciones. De sobra conocido el método de Cross, cuya resolución es por tanteo. También se usaron métodos gráficos, solo aptos para estructuras muy simples.

Y por fin llegó la revolución tecnológica que permitió el uso de ordenadores a escala doméstica. Ente avance puso en manos de los ingenieros las herramientas necesarias para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones a gran escala, ganando su terreno el método de cálculo matricial.

El método de cálculo matricial, es una serie de algoritmos algebraicos que se fundamenta en la superposición de las ecuaciones que rigen el comportamiento estático de una serie de elementos lineales o barras interconectadas entre sí y a su vez vinculadas a sus apoyos cuando se someten a unas cargas. Dichas ecuaciones se apilan formando un sistema lineal que es necesario resolver, labor que se torna muy penosa cuando el número de variables a resolver sobrepasa el terceto. De ahí que, en la mayoría de estructuras necesitemos el auxilio de la máquina para resolver el sistema, puesto que los métodos clásicos como Gauss quedan muy limitados para esos órdenes.

El sistema de ecuaciones que rige el comportamiento estático de la estructura se fundamenta en el siguiente principio:

Lo que podría leerse como: “el vector de cargas es igual a la matriz de rigideces por el vector de desplazamientos”.

Nótese como se ha diferenciado vector {} de matriz [].

Las ecuaciones anteriormente mencionadas se han transformado a matrices y vectores para una mejor gestión de la información que contienen y sus dimensiones son las siguientes:

Cuando la estructura es plana y reticulada:

El vector de cargas se compone de 3*N valores, siendo N el número de nudos en la estructura.

Idem para el vector de desplazamientos.

La matriz de rigidez es cuadrada y simétrica y es de orden 3*N.

Ese 3 hace referencia a los tres grados de libertad en el plano: desplazamiento en horizontal y vertical y giro.

Si la estructura es plana y articulada (vulgarmente cercha), sustitúyase el 3 por un 2 ya que no hay coacción al giro en sus nudos.

Pues bien, en rasgos generales, el método de cálculo matricial consiste en construir el vector {P} a partir de las cargas asignadas a la estructura, donde las cargas repartidas en barras han de prorratearse a los nudos; posteriormente construir la matriz de rigideces [K] en la que se ensamblan en cada nudo las rigideces particulares de las barras que concurren a él.

A cada barra se le asigna un sentido que determina su extremo inicial y final. La conexión de uno de los extremos de la barra en el nudo determina el tramo de su matriz de rigidez que hay que ensamblar en cada casilla del la matriz general [K] de la estructura.

El vector {d} es todo desconocido, salvo en los nudos donde conozcamos sus desplazamientos, por ejemplo en un apoyo empotrado, vamos a tener desplazamientos y giros nulos. Las filas y columnas que contienen ceros en el vector {d} se eliminan del cálculo posterior.

Para resolver la incógnita {d}, tenemos que hacer:

Y es en el cálculo de la matriz de rigidez inversa donde radica la dependencia computacional, ya que, en una estructura simple de 4 barras podríamos tener una matriz 9×9 cuya inversa se antoja casi imposible para resolver por métodos manuales y el ordenador tardará unas décimas de segundo en aplicar un método numérico para obtenerla.

Una vez obtenidos los desplazamientos y giros en cada uno de los nudos, los esfuerzos en los extremos de cada barra se obtendrán con la expresión:

Donde:

{N_i} es el vector de esfuerzos en los extremos de las barras (reacciones)

{P_i} es el vector de cargas prorrateadas en los extremos de las barras

[k_i] matriz de rigidez de la barra

{d_i} vector de desplazamientos calculado en los extremos de la barra.

Una vez obtenido los esfuerzos en los extremos, podremos obtener las leyes de esfuerzos a lo largo de la barra aplicando el equilibrio de las reacciones con las cargas aplicadas.

En conclusión el método de cálculo matricial es una herramienta muy potente si se dispone de ordenador, ya que sólo es factible su aplicación manual con pequeñas estructuras de pocas barras.

Pero con una sencilla programación en hoja de cálculo como las que a continuación se adjunta, permite obtener no solo las fuerzas y momentos que solicitan a las barras de la estructura, sino que también los desplazamientos de sus nudos, siempre en el ámbito elástico-lineal.

– Cálculo matricial de pórtico reticulado a dos aguas

– Cálculo matricial de cercha de 37 barras

La mayoría de los programas comerciales utilizan este método, sin embargo la evolución del cálculo estructural está dando un paso más allá. El nuevo método, que precisa de aún más poder computacional, analiza las ecuaciones no a nivel de elementos barra, sino a nivel de trozos de barra o incluso de elementos superficiales o volumétricos. Cada uno de esos trozos se denomina elemento finito y da origen al cálculo en MEF.

Autor: José Cándido, profesor del Máster en Cálculo de Estructuras de Obra Civil